Квадратичная и кубическая функции. Квадратичная функция

Учебник:

• Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Р. Математика. 7 класс

Цели:

I. Опрос учащихся

1. Что называется функцией?

(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной )

2. Что называется областью определения функции?

(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)

3. Что называется областью значений функции?

(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)

4. С какими функциями мы с вами познакомились?

а) с линейной функцией вида у = кх + b ,

прямой пропорциональностью вида у = кх

б) с функциями вида у = х 2 , у = х 3

5. Что представляет из себя график линейной функции? (прямая ). Сколько точек необходимо для построения данного графика?

Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций, заданных следующими формулами:

а) у = Зх + 2; у = 1,2х + 5;

b) y = 1,5х + 4; у = -0,2х + 4; у = х + 4;

с) у = 2х + 5; у = 2х - 7; у = 2х

Рисунок 1

На рисунке изображены графики линейных функций (каждому ученику на парту выдается листок с построенными графиками ). Напишите формулу для каждого графика

С графиками каких функций мы с вами ещё знакомы? (у = х 2 ; у = х 3 )

1. Что является графиком функции у = х 2 (парабола ).
2. Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы ).

Давайте построим параболу, заданную формулой у = х 2

Рисунок 2

Какими свойствами обладает график функции у = х 3 ?

1. Если х = 0 , то у = 0 - вершина параболы (0;0)
2. Область определения: х - любое число, Д(у) = (- ?; ?) Д(у) = R
3. Область значений у ? 0
4. E(y) =
5. Функция возрастает на промежутке

   Функция возрастает на промежутке

   Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

   Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

   Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

   Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

   Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

   Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

   Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

   y = 0,5x 2 - 3x + 1

   В данном случае а = 0,5

   А теперь для а < 0:

   y = - 0,5x2 - 3x + 1

   В данном случае а = - 0,5

   

   Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

   y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

   с > 0:

   y = x 2 + 4x + 3

   

   с < 0

   y = x 2 + 4x - 3

   

   Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

   y = x 2 + 4x

   
   

   Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

   Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

   Рассмотрим пример:

   

   Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

   Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

   Квадратичная функция

   Рис 1. Общий вид параболы

   Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

   Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

   Основные свойства квадратичной функции

   1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

   2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

   3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке }