Округление чисел. Легкие правила округления чисел после запятой

21.10.2019

В приближенных вычислениях зачастую приходится округлять некоторые числа, как приближенные, так и точные, то есть убирать одну или несколько конечных цифр. Для того чтобы обеспечить наибольшую близость отдельного округленного числа к округляемому числу, следует соблюдать некоторые правила.

Если первая из отделяемых цифр больше, чем число 5 , то последняя из оставляемых цифр усиливается, иначе говоря, увеличивается на единицу. Усиление так же предполагается и тогда, когда первая из убираемых цифр равна 5 , а за ней имеется одна или некоторое количество значащих цифр.

Число 25,863 округлённо записывается как – 25,9 . В данном случае цифра 8 будет усилена до 9 , так как первая отсекаемая цифра 6 , больше чем 5 .

Число 45,254 округлённо записывается как – 45,3 . Здесь цифра 2 будет усилена до 3 , так как первая отсекаемая цифра равна 5 , а за ней следует значащая цифра 1 .

В случае если первая из отсекаемых цифр меньше чем 5 , то усиления не производится.

Число 46,48 округлённо записывается как – 46 . Число 46 наиболее близко к округляемому числу, чем 47 .

Если отсекается цифра 5 , а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.

Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046 . В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной.

Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94 . Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной.

Округление чисел

Числа округляют, когда полная точность не нужна или невозможна.

Округлить число до определенной цифры (знака), значит заменить его близким по значению числом с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен, тысяч и т.д. Названия цифр в разрядах натурального числа можно вспомнить в теме натуральные числа.

В зависимости от того, до какого разряда надо округлить число, мы заменяем нулями цифру в разрядах единиц, десятков и т.д.

Если число округляется до десятков, то нулями заменяем цифру в разряде единицы.

Если число округляется до сотен, то цифра ноль должна стоять и в разряде единиц, и в разряде десятков.

Число, полученное при округлении, называют приближённым значением данного числа.

Записывают результат округления после специального знака « ≈ ». Этот знак читается как «приближённо равно».

При округлении натурального числа до какого-либо разряда надо воспользоваться правилами округления .

Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.
Отделить все цифры, стоящие справа этого разряда вертикальной чертой.
Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4 , то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений.
Если справа от подчёркнутой цифры стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9 , то все цифры, которые отделены справа, заменяются нулями, а к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1 .

Поясним на примере. Округлим 57 861 до тысяч. Выполним первые два пункта из правил округления.

После подчёркнутой цифры стоит цифра 8 , значит к цифре разряда тысяч (у нас это 7) прибавим 1 , а все цифры, отделённые вертикальной чертой заменим нулями.

Теперь округлим 756 485 до сотен.

Округлим 364 до десятков.

3 6 |4 ≈ 360 - в разряде единиц стоит 4 , поэтому мы оставляем 6 в разряде десятков без изменений.

На числовой оси число 364 заключено между двумя «круглыми» числами 360 и 370 . Эти два числа называют приближёнными значениями числа 364 с точностью до десятков.

Число 360 - приближённое значение с недостатком , а число 370 - приближённое значение с избытком .

В нашем случае, округлив 364 до десятков, мы получили, 360 - приближённое значение с недостатком.

Округлённые результаты часто записывают без нулей, добавляя сокращения «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард).

8 659 000 = 8 659 тыс.
3 000 000 = 3 млн.

Округление также применяется для прикидочной проверки ответа в вычислениях.

До точного вычисления сделаем прикидку ответа, округлив множители до наивысшего разряда.

794 · 52 ≈ 800 · 50 ≈ 40 000

Делаем вывод, что ответ будет близок к 40 000 .

794 · 52 = 41 228

Аналогично можно выполнять прикидку округлением и при делении чисел.

В некоторых случаях, точное число при делении определенной суммы на конкретное число невозможно определить в принципе. Например, при делении 10 на 3, у нас получается 3,3333333333…..3, то есть, данное число невозможно использовать для подсчета конкретных предметов и в других ситуациях. Тогда данное число следует привести к определенному разряду, например, к целому числу или к числу с десятичным разрядом. Если мы приведем 3,3333333333…..3 к целому числу, то получим 3, а приводя 3,3333333333…..3 к числу с десятичным разрядом, получим 3,3.

Правила округления

Что такое округление? Это отбрасывание нескольких цифр, которые являются последними в ряду точного числа. Так, следуя нашему примеру, мы отбросили все последние цифры, чтобы получить целое число (3) и отбросили цифры, оставив только разряды десятков (3,3). Число можно округлять до сотых и тысячных, десятитысячных и прочих чисел. Все зависит от того, насколько точное число необходимо получить. Например, при изготовлении медицинских препаратов, количество каждого из ингредиентов лекарства берется с наибольшей точностью, поскольку даже тысячная грамма может привести к летальному исходу. Если же необходимо подсчитать, какая успеваемость учеников в школе, то чаще всего используется число с десятичным или с сотым разрядом.

Рассмотрим иной пример, в котором применяются правила округления. Например, имеется число 3,583333, которое необходимо округлить до тысячных – после округления, за запятой у нас должно остаться три цифры, то есть результатом станет число 3,583. Если же это число округлять до десятых, то у нас получится не 3,5, а 3,6, поскольку после «5» стоит цифра «8», которая приравнивается уже к «10» во время округления. Таким образом, следуя правилам округления чисел, необходимо знать, если цифры больше «5», то последняя цифра, которую необходимо сохранить, будет увеличена на 1. При наличии цифры, меньшей, чем «5», последняя сохраняемая цифра остается неизменной. Такие правила округления чисел применяются независимо от того, до целого числа или до десятков, сотых и т.д. необходимо округлить число.

В большинстве случаев, при необходимости округления числа, в котором последняя цифра «5», этот процесс выполняется неправильно. Но существует еще и такое правило округления, которое касается именно таких случаев. Рассмотрим на примере. Необходимо округлить число 3,25 до десятых. Применяя правила округления чисел, получим результат 3,2. То есть, если после «пяти» нет цифры или стоит ноль, то последняя цифра остается неизменной, но только при условии, что она является четной – в нашем случае «2» — это четная цифра. Если бы нам необходимо было выполнить округление 3,35, то результатом бы стало число 3,4. Поскольку, в соответствии с правилами округления, при наличии нечетной цифры перед «5», которую необходимо убрать, нечетная цифра увеличивается на 1. Но только при условии, что после «5» нет значащих цифр. Во многих случаях, могут применяться упрощенные правила, согласно которым, при наличии за последней сохраняемой цифрой значений цифр от 0 до 4, сохраняемая цифра не изменяется. При наличии других цифр, последняя цифра увеличивается на 1.

5.5.7. Округление чисел

Чтобы округлить число до какого-либо разряда – подчеркнем цифру этого разряда, а затем все цифры, стоящие за подчеркнутой, заменяем нулями, а если они стоят после запятой – отбрасываем. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения . Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличиваем на 1.

Примеры.

Округлить до целых:

1) 12,5; 2) 28,49; 3) 0,672; 4) 547,96; 5) 3,71.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде единиц (целых) и смотрим на цифру, стоящую за ней. Если это цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то подчеркнутую цифру оставляем без изменения, а все цифры после нее отбрасываем. Если же за подчеркнутой цифрой стоит цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на единицу.

1) 1 2 ,5≈13;

2) 2 8 ,49≈28;

3) 0 ,672≈1;

4) 54 7 ,96≈548;

5) 3 ,71≈4.

Округлить до десятых:

6) 0, 246; 7) 41,253; 8) 3,81; 9) 123,4567; 10) 18,962.

Решение. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде десятых, а затем поступаем согласно правилу: все стоящие после подчеркнутой цифры отбросим. Если за подчеркнутой цифрой была цифра 0 или 1 или 2 или 3 или 4, то подчеркнутую цифру не изменяем. Если за подчеркнутой цифрой шла цифра 5 или 6 или 7 или 8 или 9, то подчеркнутую цифру увеличим на 1.

6) 0, 2 46≈0,2;

7) 41, 2 53≈41,3;

8) 3, 8 1≈3,8;

9) 123, 4 567≈123,5;

10) 18, 9 62≈19,0. За девяткой стоит шестерка, поэтому, девятку увеличиваем на 1. (9+1=10) нуль пишем, 1 переходит в следующий разряд и будет 19. Просто 19 мы в ответе записать не можем, так как должно быть понятно, что мы округляли до десятых - цифра в разряде десятых должна быть. Поэтому, ответ: 19,0.

Округлить до сотых:

11) 2, 045; 12) 32,093; 13) 0, 7689; 14) 543, 008; 15) 67, 382.

Решение. Подчеркиваем цифру в разряде сотых и, в зависимости от того, какая цифра стоит после подчеркнутой, оставляем подчеркнутую цифру без изменения (если за ней 0, 1, 2, 3 или 4) или увеличиваем подчеркнутую цифру на 1 (если за ней стоит 5, 6, 7, 8 или 9).

11) 2, 0 4 5≈2,05;

12) 32,0 9 3≈32,09;

13) 0, 7 6 89≈0,77;

14) 543, 0 0 8≈543,01;

15) 67, 3 8 2≈67,38.

Важно: в ответе последней должна стоять цифра в том разряде, до которого вы округляли.

www.mathematics-repetition.com

Как округлить число до целого

Применяя правило округления чисел, рассмотрим на конкретных примерах, как округлить число до целого.

Правило округления числа до целого

Чтобы округлить число до целого (или округлить число до единиц), надо отбросить запятую и все числа, стоящие после запятой.

Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то число не изменится.

Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, предыдущую цифру нужно увеличить на единицу.

Округлить число до целого:

Чтобы округлить число до целого, отбрасываем запятую и все стоящие после нее числа. Так как первая отброшенная цифра 2, предыдущую цифру не изменяем. Читают: «восемьдесят шесть целых двадцать четыре сотых приближенно равно восьмидесяти шести целым».

Округляя число до целого, отбрасываем запятую и все следующие за ней цифры. Так как первая из отброшенных цифр равна 8, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Двести семьдесят четыре целых восемьсот тридцать девять тысячных приближенно равно двести семидесяти пяти целым».

При округлении числа до целого запятую и все стоящие за ней цифры отбрасываем. Поскольку первая из отброшенных цифр - 5, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Нуль целых пятьдесят две сотых приближенно равно одной целой».

Запятую и все стоящие после нее цифры отбрасываем. Первая из отброшенных цифр - 3, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Нуль целых триста девяносто семь тысячных приближенно равно нуль целых».

Первая из отброшенных цифр - 7, значит, стоящую перед ней цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Тридцать девять целых семьсот четыре тысячных приближенно равно сорока целым». И еще пара примеров на округление числа до целых:

27 Comments

Не правильная теория про если цифра 46.5 это не 47 а 46 это называется еще банковским округлением к ближайшему четному округляется если после запятой 5 и за ним нет никакой цифры

Уважаемый ShS! Возможно(?), в банках округление происходит по иным правилам. Не знаю, я не работаю в банке. На этом сайте речь идёт о правилах, действующих в математике.

как округлить число 6,9?

Чтобы округлить число до целого, надо отбросить все числа, стоящие после запятой. Отбрасываем 9, поэтому предыдущее число следует увеличить на единицу. Значит, 6,9 приближенно равно семи целым.

На самом деле действительно не увеличивается цифра если после запятой 5 в любом финансовом учреждении

Гм. В таком случае финансовые учреждения в вопросах округления руководствуются не законами математики, а своими собственными соображениями.

Скажите, как округлить 46,466667. Запуталась

Если требуется округлить число до целого, то надо отбросить все цифры, стоящие после запятой. Первая из отброшенных цифр равна 4, поэтому предыдущую цифру не изменяем:

Уважаемая Светлана Ивановна. Плохо же Вы знакомы с правилами математики.

Правило. Если отбрасывается цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т. е. последняя сохраняемая цифра оставляется неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная.

И Соответственно: Округляя число 0,0465 до третьего десятичного знака, пишем 0,046. Усиления не делаем, так как последняя сохраняемая цифра 6 - четная. Число 0,046 столь же близко к данному, как 0,047.

Уважаемый гость! Да будет Вам известно, в математике для округление числа существуют различные способы округления. В школе изучают один из них, состоящий в отбрасывании младших разрядов числа. Я рада за Вас, что Вы знаете другой способ, но неплохо бы не забывать и школьные знания.

Спасибо вам большое! Нужно было округлить 349,92. Получается 350. Спасибо за правило?

как правильно округлить 5499,8?

Если речь об округлении до целого, то отбросить все цифры, стоящие после запятой. Отброшенная цифра - 8, следовательно, предыдущую увеличиваем на единицу. Значит, 5499,8 приближенно равно 5500 целым.

Доброго дня!
А вот такой вопрос возник сейас:
Есть три числа: 60.56% 11.73% и 27.71% Каким образом окрулить до целых знаечний? Чтобы в сумме то 100 осталось. Если просто округлять, то 61+12+28=101 Плучается неувязочка. (Если, как тыт писали, по «банковскому» методу - в данном случае получится, но в случае, например 60.5% и 39.5% получится опять что-то пало - 1% потеряем). Как быть?

О! помог метод от «гость 02.07.2015 12:11″
Благодарю»

Не знаю меня в школе учили так:
1.5 => 1
1.6 => 2
1.51 => 2
1.51 => 1.6

Возможно, Вас так учили.

0, 855 до сотых помогите пожалуйста

0, 855≈0,86 (отброшена 5, предыдущую цифру увеличиваем на 1).

Округлить 2,465 до целого числа

2,465≈2 (первая отброшенная цифра - 4. Поэтому предыдущую оставляем без изменения).

Как округлить 2,4456 до целого?

2,4456 ≈ 2 (так как первая отброшенная цифра 4, предыдущую цифру оставляем без изменения).

Исходя из правил кругления: 1,45=1,5=2, следовательно 1,45=2. 1,(4)5 = 2. Так ли это?

Нет. Если требуется округлить 1,45 до целого, отбрасываем первую цифру после запятой. Поскольку это 4, предыдущую цифру не изменяем. Таким образом, 1,45≈1.

Примеры.

Округлить до целых:

1) 12,5; 2) 28,49; 3) 0,672; 4) 547,96; 5) 3,71.

1) 12 ,5≈13;

2) 28 ,49≈28;

3) 0 ,672≈1;

4) 547 ,96≈548;

5) 3 ,71≈4.

Округлить до десятых:

6) 0, 246; 7) 41,253; 8) 3,81; 9) 123,4567; 10) 18,962.

6) 0, 2 46≈0,2;

7) 41,2 53≈41,3;

8) 3,8 1≈3,8;

9) 123,4 567≈123,5;

10) 18,9 62≈19,0. За девяткой стоит шестерка, поэтому, девятку увеличиваем на 1. (9+1=10) нуль пишем, 1 переходит в следующий разряд и будет 19. Просто 19 мы в ответе записать не можем, так как должно быть понятно, что мы округляли до десятых — цифра в разряде десятых должна быть. Поэтому, ответ: 19,0.

Округлить до сотых:

11) 2, 045; 12) 32,093; 13) 0, 7689; 14) 543, 008; 15) 67, 382.

11) 2, 04 5≈2,05;

12) 32,09 3≈32,09;

13) 0, 76 89≈0,77;

14) 543, 00 8≈543,01;

15) 67, 38 2≈67,38.

Важно: в ответе последней должна стоять цифра в том разряде, до которого вы округляли.

Математика. 6 класс. Тест 5 . Вариант 1 .

1. Бесконечные десятичные непериодические дроби называют... числами.

А) положительными; В) иррациональными; С) четными; D) нечетными; Е) рациональными.

2 . При округлении числа до какого-либо разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой — отбрасывают. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то стоящую перед ней цифру не изменяют. Если первая замененная нулем или отброшенная цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на единицу. Округлить до десятых число 9,974.

A) 10,0; B) 9,9; C) 9,0; D) 10; E) 9,97.

3. Округлить до десятков число 264,85 .

A) 270; B) 260; C) 260,85; D) 300; E) 264,9.

4 . Округлить до целых число 52,71.

A) 52; B) 52,7; C) 53,7; D) 53; E) 50.

5. Округлить до тысячных число 3, 2573 .

A) 3,257; B) 3,258; C) 3,28; D) 3,3; E) 3.

6. Округлить до сотен число 49,583 .

A) 50; B) 0; C) 100; D) 49,58; E) 49.

7. Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода; а знаменатель состоит из девяток и нулей, причем, девяток столько, сколько цифр в периоде, а нулей столько, сколько цифр после запятой до периода. 0,58 (3) в обыкновенную.

8. Обратить бесконечную периодическую десятичную дробь 0,3 (12) в обыкновенную.

9. Обратить бесконечную периодическую десятичную дробь 1,5 (3) в смешанное число.

10. Обратить бесконечную периодическую десятичную дробь 5,2 (144) в смешанное число.

11. Любое рациональное число можно записать Записать число 3 в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

А) 3,0 (0); В) 3,(0); С) 3; D) 2,(9); E) 2,9 (0).

12 . Записать обыкновенную дробь ½ в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

A) 0,5; B) 0,4 (9); C) 0,5 (0); D) 0,5 (00); E) 0,(5).

Ответы к тестам Вы найдете на странице «Ответы».

Страница 1 из 1 1

Округляют числа в Excel несколькими способами. С помощью формата ячеек и с помощью функций. Эти два способа следует различать так: первый только для отображения значений или вывода на печать, а второй способ еще и для вычислений и расчетов.

С помощью функций возможно точное округление, в большую или меньшую сторону, до заданного пользователем разряда. А полученные значения в результате вычислений, можно использовать в других формулах и функциях. В то же время округление с помощью формата ячеек не даст желаемого результата, и результаты вычислений с такими значениями будут ошибочны. Ведь формат ячеек, по сути, значение не меняет, меняется лишь его способ отображения. Чтобы в этом быстро и легко разобраться и не совершать ошибок, приведем несколько примеров.

Как округлить число форматом ячейки

Впишем в ячейку А1 значение 76,575. Щелкнув правой кнопкой мыши, вызываем меню «Формат ячеек». Сделать то же самое можно через инструмент «Число» на главной странице Книги. Или нажать комбинацию горячих клавиш CTRL+1.

Выбираем числовой формат и устанавливаем количество десятичных знаков – 0.

Результат округления:

Назначить количество десятичных знаков можно в «денежном» формате, «финансовом», «процентном».

Как видно, округление происходит по математическим законам. Последняя цифра, которую нужно сохранить, увеличивается на единицу, если за ней следует цифра больше или равная «5».

Особенность данного варианта: чем больше цифр после запятой мы оставим, тем точнее получим результат.

Как правильно округлить число в Excel

С помощью функции ОКРУГЛ() (округляет до необходимого пользователю количества десятичных разрядов). Для вызова «Мастера функций» воспользуемся кнопкой fx. Нужная функция находится в категории «Математические».

Аргументы:

«Число» - ссылка на ячейку с нужным значением (А1).
«Число разрядов» - количество знаков после запятой, до которого будет округляться число (0 – чтобы округлить до целого числа, 1 – будет оставлен один знак после запятой, 2 – два и т.д.).

Теперь округлим целое число (не десятичную дробь). Воспользуемся функцией ОКРУГЛ:

первый аргумент функции – ссылка на ячейку;
второй аргумент – со знаком «-» (до десятков – «-1», до сотен – «-2», чтобы округлить число до тысяч – «-3» и т.д.).

Как округлить число в Excel до тысяч?

Пример округления числа до тысяч:

Формула: =ОКРУГЛ(A3;-3).

Округлить можно не только число, но и значение выражения.

Допустим, есть данные по цене и количеству товара. Необходимо найти стоимость с точностью до рубля (округлить до целого числа).

Первый аргумент функции – числовое выражение для нахождения стоимости.

Как округлить в большую и меньшую сторону в Excel

Для округления в большую сторону – функция «ОКРУГЛВВЕРХ».

Первый аргумент заполняем по уже знакомому принципу – ссылка на ячейку с данными.

Второй аргумент: «0» - округление десятичной дроби до целой части, «1» - функция округляет, оставляя один знак после запятой, и т.д.

Формула: =ОКРУГЛВВЕРХ(A1;0).

Результат:

Чтобы округлить в меньшую сторону в Excel, применяется функция «ОКРУГЛВНИЗ».

Пример формулы: =ОКРУГЛВНИЗ(A1;1).

Полученный результат:

Формулы «ОКРУГЛВВЕРХ» и «ОКРУГЛВНИЗ» используются для округления значений выражений (произведения, суммы, разности и т.п.).

Как округлить до целого числа в Excel?

Чтобы округлить до целого в большую сторону используем функцию «ОКРУГЛВВЕРХ». Чтобы округлить до целого в меньшую сторону используем функцию «ОКРУГЛВНИЗ». Функция «ОКРУГЛ» и формата ячеек так же позволяют округлить до целого числа, установив количество разрядов – «0» (см.выше).

В программе Excel для округления до целого числа применяется также функция «ОТБР». Она просто отбрасывает знаки после запятой. По сути, округления не происходит. Формула отсекает цифры до назначенного разряда.

Сравните:

Второй аргумент «0» - функция отсекает до целого числа; «1» - до десятой доли; «2» - до сотой доли и т.д.

Специальная функция Excel, которая вернет только целое число, – «ЦЕЛОЕ». Имеет единственный аргумент – «Число». Можно указать числовое значение либо ссылку на ячейку.

Недостаток использования функции «ЦЕЛОЕ» - округляет только в меньшую сторону.

Округлить до целого в Excel можно с помощью функций «ОКРВВЕРХ» и «ОКРВНИЗ». Округление происходит в большую или меньшую сторону до ближайшего целого числа.

Пример использования функций:

Второй аргумент – указание на разряд, до которого должно произойти округление (10 – до десятков, 100 – до сотен и т.д.).

Округление до ближайшего целого четного выполняет функция «ЧЕТН», до ближайшего нечетного – «НЕЧЕТ».

Пример их использования:

Почему Excel округляет большие числа?

Если в ячейки табличного процессора вводятся большие числа (например, 78568435923100756), Excel по умолчанию автоматически округляет их вот так: 7,85684E+16 – это особенность формата ячеек «Общий». Чтобы избежать такого отображения больших чисел нужно изменить формат ячейки с данным большим числом на «Числовой» (самый быстрый способ нажать комбинацию горячих клавиш CTRL+SHIFT+1). Тогда значение ячейки будет отображаться так: 78 568 435 923 100 756,00. При желании количество разрядов можно уменьшить: «Главная»-«Число»-«Уменьшить разрядность».

Научившись умножать многозначные числа «в столбик», мы убедились, что это весьма муторное занятие. К счастью, мы будем этим заниматься недолго. В скором времени все сколь-нибудь сложные вычисления мы будем делать с помощью калькулятора. Сейчас мы практикуемся в счете исключительно в учебных целях, чтобы лучше понять и почувствовать «поведение» чисел. Впрочем, понимание и чутье можно с неменьшим успехом оттачивать на приближенных вычислениях, которые являются значительно более простыми. К ним-то мы теперь и приступим.

Допустим, мы хотим купить пять шоколадок по 19 рублей. Мы смотрим в свой кошелек и хотим быстро сообразить, хватит ли нам на это денег. Мы рассуждаем так: 19 это примерно 20, а 20 умножить на 5 это 100. Вот тут у нас в кошельке как раз есть сто рублей с небольшим. Значит, денег достаточно. Математик бы сказал, что мы округлили девятнадцать до двадцати и проделали приближенные вычисления. Но начнем всё по порядку.

Прежде всего оговоримся, что на первых порах мы будем заниматься округлением только положительных чисел. Делать это можно по-разному. Например, так:

Значок «≈» читается как «приближенно равно». Здесь мы, как говорится, округлили числа вниз и, соотвественно, получили оценку снизу. Делается это очень просто: мы оставляем первую цифру числа такой, как она есть, а все последующие заменяем на нули. Ясно, что результат такого округления всегда оказывается меньше или равен исходному числу.

С другой стороны, числа можно также округлять и вверх, получая, таким образом, оценку сверху:

При таком округлении все цифры, начиная со второй, обращаются в нули, а первая цифра увеличивается на единицу. Особый случай возникает, когда первая цифра равна девятке, которая заменяется сразу на две цифры, 1 и 0:

Результат округления вверх всегда больше или равен исходному числу.

Таким образом, у нас есть выбор, в какую сторону округлять: вверх или вниз. Обычно округляют в ту сторону, в которую ближе. Очевидно, что в большинстве случаев 11 лучше округлить до 10-ти, а 19 - до 20-ти. Формальные правила таковы: если вторая цифра у нашего числа находится в пределах от нуля до 4-х, то округляем вниз. Если же эта цифра оказывается в пределах от 5-ти до 9-ти, то вверх. Таким образом:

98 765 ≈ 100 000.

Отдельно надо отметить ситуацию, когда у числа вторая цифра - пять, а все последующие равны нулю, например 1500. Это число находится на одинаковом расстоянии как от 2000, так и от 1000:

2000 − 1500 = 500,

1500 − 1000 = 500.

Поэтому, казалось бы, всё равно, в какую сторону его округлять. Однако его принято округлять не куда-нибудь, а только вверх - для того, чтобы правила округления можно было сформулировать как можно проще. Если мы видим на втором месте пятерку, то этого уже достаточно для принятия решения о том, куда округлять: последующими цифрами можно уже совершенно не интересоваться.

Пользуясь округлением чисел, мы теперь можем быстро, хотя и приближенно, решать примеры на умножение какой угодно сложности. Пусть требуется вычислить:

Округляем оба сомножителя и за пару секунд получаем:

6879 ∙ 267 ≈ 7000 ∙ 300 = 2 100 000 ≈ 2 000 000 = 2 миллиона.

Для сравнения приведу точный ответ, который мы вычисляли, когда учились умножать в столбик:

6879 ∙ 267 = 1 836 693.

Что надо теперь сделать, чтобы понять, близко или далеко приближенный ответ отстоит от точного? - Конечно же, округлить точный ответ:

6879 ∙ 267 = 1 836 693 ≈ 2 000 000 = 2 миллиона.

У нас получилось, что после округления точный ответ стал равен приближенному. Значит, наш приближенный ответ не так уж и плох. Впрочем, надо заметить, что такая точность достигается далеко не всегда. Пусть надо вычислить 1497∙143. Приближенные вычисления выглядят так:

1497 ∙ 143 ≈ 1000 ∙ 100 = 100 000 = 100 тысяч.

А вот точный ответ (с последующим его округлением):

1497 ∙ 143 = 214 071 ≈ 200 000 = 200 тысяч.

Таким образом, точный ответ после округления оказался в 2 раза больше, чем приближенный. Это, конечно, не очень хорошо. Но признаюсь честно: я специально взял один из самых худших случаев. Обычно точность приближенных расчетов бывает всё же лучше.

Впрочем, мы до сих пор округляли числа и делали приближенные рассчеты лишь в самой, так сказать, грубой форме. Из всех разрядов числа мы оставляли незануленным только один - самый старший. Говорят, что мы округляли числа с точностью до одной значащей цифры. Однако мы можем округлять и поаккуратней, например, до двух значащих цифр:

Правило тут почти такое же, как и раньше. Все разряды, кроме двух самых старших, зануляем. Если в первом из зануленных разрядов стояла цифра в пределах от нуля до 4-х, то ничего больше не делаем. Если же эта цифра была в пределах от 5-ти до 9-ти, то в последний из незануленных разрядов добавляем единицу. Заметим, что если в разряде, в который добавляется единица, стоит девятка, то этот разряд переполняется и скидывается в ноль, а единицу «наследует» более старший разряд. То есть получается вот что:

195 ≈ 190 + 10 = 200,

или даже:

995 ≈ 990 + 10 = 1000.

Подобным же образом определяется и округление до трех значащих цифр и так далее.

Возвращаемся к нашему примеру. Посмотрим, что будет, если округлять числа не до одной, а до двух значащих цифр:

1497 ∙ 143 ≈ 1500 ∙ 140 = 210 000 = 210 тысяч.

И еще раз сравним с точным ответом:

1497 ∙ 143 = 214 071 ≈ 210 000 ≈ 210 тысяч.

Не правда ли, наше приближенное вычисление стало заметно точнее?

А вот еще один знакомый пример, для которого мы напишем два варианта приближенных ответов и сопоставим их с ответом точным:

6879 ∙ 267 ≈ 7 000 ∙ 3 00 = 2 100 000 ≈ 2 000 000,

6879 ∙ 267 ≈ 69 00 ∙ 27 0 = 1 863 000 ≈ 1 9 00 000,

6879 ∙ 267 = 1836693 ≈ 1 8 00 000 ≈ 2 000 000.

Тут самое время упомянуть о таком правиле: Если сомножители округлены до одной значащей цифры, то и приближенный ответ следует сразу же округлить до одной значащей цифры. Если сомножители округлены до двух значащих цифр, то и ответ надо округлять до двух значащих цифр. Вообще, сколько значащих цифр у сомножителей, столько же значащих цифр должно остаться у произведения. Поэтому в первой строчке, едва получив 2 100 000, мы тут же округлили это число до 2 000 000. Так же и во второй строчке: мы не стали останавливаться на промежуточном результате 1 863 000, а сразу же округлили его до 1 9 00 000. Почему так? Потому что в числе 2 100 000 все разряды, кроме самого первого, всё равно вычислены неверно. Подобным же образом, в числе 1 863 000 неверно вычислены все разряды, кроме первых двух. Давайте взглянем на соответствующие расчеты, сделанные «в столбик»:

Здесь слева воспроизведены точные вычисления, а справа - приближенные, выполненные после округления сомножителей до двух значащих цифр. Вместо нулей мы написали кружочки, чтобы подчеркнуть, что на самом деле за этими кружочками-нулями стоят какие-то другие цифры, которые после округления стали нам неизвестны. Не зная всех цифр в первых двух строчках, мы также не можем вычислить всех цифр и в последующих строчках - поэтому там тоже встречаются кружочки. Теперь всмотримся внимательнее: в двух самых старших разрядах нам кружочки нигде не попадаются. Значит, в ответной строке эти разряды вычислены более или менее точно. Но уже в третьем по старшинству разряде есть один кружочек, под которым подразумевается неизвестная нам цифра. Поэтому третий разряд в ответной строке мы, на самом деле, вычислить не можем. Тем более это относится к четвертому и последующим разрядам. Вот эти-то все разряды с неизвестными значениями и должны быть занулены в ходе последующего округления.

А что, интересно, будет, если один из сомножителей округлен с точностью до трех значащих цифр, а другой - только до одной? Давайте посмотрим, как будет выглядеть расчет в этом случае:

Мы видим, что сколь-нибудь надежно определен только самый старший разряд, поэтому округлять ответ надо до одной значащей цифры:

6879 ∙ 267 ≈ 6880 ∙ 3 00 = 2 064 000 ≈ 2 000 000

Мы видим также, что значащая цифра (в данном случае, 2) может отличаться от истинной (в данном случае, 1), но, как правило, не больше чем на единицу.

В общем случае, мы должны ориентироваться на сомножитель с наименьшим числом значащих цифр: точно до такого же числа значащих цифр следует округлять ответ.

До сих пор мы говорили только о приближенном умножении. А как насчет сложения? - Разумеется, сложение тоже может быть приближенным. Только округлять слагаемые, подготавливая их к приближенному сложению, надо не совсем так, как мы округляли сомножители, подготавливая их к приближенному умножению. Рассмотрим пример:

61 238 + 349 = 61 587.

Округлим, для начала, каждое из слагаемых до одной значащей цифры:

61 238 + 349 ≈ 60 000 + 300 = 60 300 ≈ 60 000.

Или, если записать в столбик:

61 238 + 349 ≈ 60 000 + 000 = 60 000.

Мы можем тут вместо второго слагаемого написать 0, или, как еще говорится, полностью пренебречь им по сравнению с первым слагаемым. Попробуем увеличить точность наших расчетов. Округляем теперь до двух значащих цифр:

61 238 + 349 ≈ 61 000 + 350 = 61 350 ≈ 61 000.

И снова мы могли бы сразу пренебречь вторым слагаемым и написать:

61 238 + 349 ≈ 61 000 + 0 = 61 000.

Лишь когда мы увеличиваем точность округления до трех значащих цифр, второе слагаемое начинает играть какую-то роль:

61 238 + 349 ≈ 61 200 + 349 = 61 549 ≈ 61 500.

Однако мы снова перестарались с точностью второго слагаемого: для него вполне было бы досточно и одной значащей цифры:

61 238 + 349 ≈ 61 200 + 300 = 61 500.

Тут действует такое правило: слагаемые, в отличие от сомножителей, следует округлять не до одинакового числа значащих цифр, а до одного и того же разряда. Округлить до разряда десятков - значит, округлить так, чтобы последняя значащая цифра результата округления находилась в разряде десятков. При округлении до разряда сотен последняя значащая цифра находится в разряде сотен и так далее. Приближенный ответ сразу же оказывается округлен с нужной точностью и дальнейшего округления не требует. Выпишем еще раз наш пример, посчитав его с различной точностью:

61 238 + 349 = 61 587 (точный расчет),

61 238 + 349 ≈ 61 240 + 350 = 61 590 (округление до десятков),

61 238 + 349 ≈ 61 200 + 300 = 61 500 (до сотен),

61 238 + 349 ≈ 61 000 + 0 = 61 000 (до тысяч),

61 238 + 349 ≈ 60 000 + 0 = 60 000 (до десятков тысяч),

61 238 + 349 ≈ 100 000 + 0 = 100 000 (до сотен тысяч).

Следует отметить, что при округлении второго слагаемого (349) до тысяч (и, тем более, до более старших разрядов) получается ноль. Здесь в последней строке мы встречаемся также с еще одним примечательным случаем:

61 238 ≈ 100 000,

когда число округляется до более высокого разряда, чем те, которые содержатся в нем самом, - и всё же результат такого округления оказывается отличным от нуля.

Рассмотрим теперь приближенное вычитание. Мы знаем, что вычитание можно рассматривать просто как одну из разновидностей сложения. Поэтому правила приближенного вычитания вообще-то совпадают с правилами приближенного сложения. Однако тут возможна особая ситуация, которая возникает, когда мы вычисляем разность близких друг к другу чисел. Допустим, требуется грубо оценить, чему равно значение выражения:

После грубого округления членов разности мы получаем:

Прямо скажем, получилось не очень-то хорошо. Точное значение, как нетрудно вычислить, таково:

7654 − 7643 = 11.

Всё-таки есть немалая разница между нулем и одиннадцатью! Поэтому даже при самых грубых оценках члены разности принято округлять до такого разряда, чтобы результат был всё же отличен от нуля:

7654 − 7643 ≈ 7650 − 7640 = 10.

А вот еще одна неприятность, которая может случиться при приближенном вычитании:

Мы получили в ответе аж тысячу, в то время как точное значение разности равно всего лишь единице! Тут уж надо смотреть внимательно и не допускать, что называется, формалистского подхода.

Впрочем, возможны такие ситуации, когда значение разности требуется вычислить с точностью до какого-то заранее предопределенного разряда, например, до разряда тысяч. В этом случае вполне допустимо именно так и писать:

7654 − 7643 ≈ 8000 − 8000 = 0.

2500 − 2499 ≈ 3000 − 2000 = 1000.

Формально мы совершенно правы. Мы ошибаемся в разряде тысяч не более, чем на одну единицу, а это - совершенно обычное дело, когда мы работаем с такой точностью, при которой последняя значащая цифра приходится как раз на разряд тысяч. Подобным же образом, с точностью до сотен:

7654 − 7643 ≈ 7700 − 7600 = 100.

2500 − 2499 ≈ 2500 − 2500 = 0.

Хотя приближенные вычисления - вещь довольно простая, подходить к ней совсем уж бездумно нельзя. Всякий раз точность приближения надо выбирать исходя из поставленной задачи и здравого смысла.

Нам осталось рассмотреть приближенное деление. Забегая вперед, скажу, что деление можно рассматривать как разновидность умножения. Поэтому правила приближенного деления - те же самые, как и в случае умножения: делимое и делитель надо округлить до одинакового числа значащих цифр, и это же самое число значащих цифр должно оставаться в ответе.

Но мы до сих пор не проходили деление по-настоящему. Мы умеем делить нацело и делить с остатком, но поделить «по-взрослому», без остатка, одно произвольное число на другое мы еще не можем. Поэтому мы пока выработаем, так сказать, временные правила приближенного деления, отвечающие нашему сегодняшнему пониманию предмета. Делить мы пока будем только грубо, с точностью до одной значащей цифры.

Пусть требуется приближенно вычислить:

Прежде всего округлим делитель (324) до одной значащей цифры:

76 464 / 324 ≈ 76 464 / 300.

Теперь сравним единственную значащую цифру делителя (3) с первой цифрой делимого (7). Тут, в принципе, возможно два случая. Первый случай заключается в том, что первая цифра делимого оказывается больше или равна единственной значащей цифре делителя. Этот случай мы сейчас и рассмотрим, потому что именно он реализуется в данном примере, так как 7 ≥ 3. Теперь мы зануляем все разряды делимого, кроме самого старшего, а значение старшего разряда округляем до ближайшего числа, делящегося нацело на значащую цифру делителя:

76 464 / 324 ≈ 76 464 / 300 ≈ 90 000 / 300.

Заметим, что, по стандартным правилам округления, 76 464 ≈ 80 000, однако, поскольку 8 не делится нацело на 3, мы «пошли еще дальше вверх», так что у нас оказалось 76 464 ≈ 90 000. Далее, у делимого и у делителя убираем одновременно «с хвоста» одинаковое число «лишних нулей»:

76 464 / 324 ≈ 76 464 / 300 ≈ 90 000 / 300 = 900 / 3.

После этого выполнить деление не составляет никакого труда:

76 464 / 324 ≈ 76 464 / 300 ≈ 90 000 / 300 = 900 / 3 = 300.

Приближенный ответ готов. Приведу для сравнения точный ответ:

76 464 / 324 = 236 ≈ 200.

Как видно, расхождение в единственной значащей цифре приближенного ответа составляет одну единицу, что вполне приемлемо.

Пусть теперь надо закончить такие приближенные вычисления:

35 144 / 764 ≈ 35 144 / 800.

Это второй из упомянутых нами случаев, когда первая цифра делимого меньше единственной значащей цифры округленного делителя (3 < 8). В этом случае мы зануляем все разряды делимого, кроме двух самых старших, а то число, которое образует эти два старших разряда, «подтягиваем» к ближайшему числу, которое можно поделить нацело на единственную значащую цифру делителя:

35 144 / 764 ≈ 35 144 / 800 ≈ 32 000 / 800.

(Если «подтянуть» можно с равным успехом в обе стороны, то «подтягиваем», для определенности, вверх.) Теперь убираем «лишние» нули и выполняем деление:

35 144 / 764 ≈ 35 144 / 800 ≈ 32 000 / 800 = 320 / 8 = 40.

Точный расчет таков:

35 144 / 764 = 46 ≈ 50.

И опять точность приближенного результата вполне приемлема.

Следует отметить, что делить приближенно можно даже такие числа, которые нацело друг на друга не делятся. Важно лишь (пока), чтобы делимое было больше или равно делителю.

В заключение этого урока нам осталось разобраться с тем, как округлять отрицательные числа и как делать с ними приближенные вычисления. На самом деле, для любого отрицательного числа мы всегда можем написать что-то в этом роде:

−3456 = −(+3456).

Здесь у нас в скобке стоит положительное число. Его-то мы и округлим по тем правилам, которые мы выработали для положительных чисел. Например, если его требуется округлить до двух значащих цифр, то мы получим:

−3456 = −(+3456) ≈ −(+3500) = −3500.

Так же просто все вычисления с отрицательными числами подменить на вычисления с участием только положительных чисел. Например,

−234 − 567 = −(234 + 567) ≈ −(200 + 600) = −(800) = −800,

234 − 567 = −(567 − 234) ≈ −(600 − 200) = −(400) = −400,

234 ∙ (−567) = −(234 ∙ 567) ≈ −(200 ∙ 600) = −(120 000) = −120 000.

Если отображение ненужных разрядов вызывает появление знаков ######, или если микроскопическая точность не нужна, измените формат ячеек таким образом, чтобы отображались только необходимые десятичные разряды.

Или если вы хотите округлить число до ближайшего крупного разряда, например, тысячной, сотой, десятой или единицы, используйте функцию в формуле.

С помощью кнопки

Выделите ячейки, которые нужно отформатировать.

На вкладке Главная выберите команду Увеличить разрядность или Уменьшить разрядность , чтобы отобразить больше или меньше цифр после запятой.

С помощью встроенного числового формата

На вкладке Главная в группе Число щелкните стрелку рядом со списком числовых форматов и выберите пункт Другие числовые форматы .

В поле Число десятичных знаков введите число знаков после запятой, которые вы хотите отображать.

С помощью функции в формуле

Округлите число до необходимого количества цифр с помощью функции ОКРУГЛ . Эта функция имеет только два аргумента (аргументы - это части данных, необходимые для выполнения формулы).

Первый аргумент - это число, которое необходимо округлить. Он может быть ссылкой на ячейку или числом.

Второй аргумент - это количество цифр, до которого необходимо округлить число.

Предположим, что ячейка A1 содержит число 823,7825 . Вот как можно округлить его.

Чтобы округлить до ближайшей тысяч и

Введите =ОКРУГЛ(A1;-3) , что равно 100 0

Число 823,7825 ближе к 1000, чем к 0 (0 кратно 1000)

В этом случае используется отрицательное число, поскольку округление должно состоятся влево от запятой. Такое же число применяется в следующих двух формулах, которые округляют до сотен и десятков.

Чтобы округлить до ближайших сотен

Введите =ОКРУГЛ(A1;-2) , что равно 800

Число 800 ближе к 823,7825, чем к 900. Наверное, теперь вам все понятно.

Чтобы округлить до ближайших десятков

Введите =ОКРУГЛ(A1;-1) , что равно 820

Чтобы округлить до ближайших единиц

Введите =ОКРУГЛ(A1;0) , что равно 824

Используйте ноль для округления числа до ближайшей единицы.

Чтобы округлить до ближайших десятых

Введите =ОКРУГЛ(A1;1) , что равно 823,8

В этом случает для округления числа до необходимого количества разрядов используйте положительное число. То же самое касается двух следующих формул, которые округляют до сотых и тысячных.

Чтобы округлить до ближайших сотых

Введите =ОКРУГЛ(A1;2) , что равно 823,78

Чтобы округлить до ближайших тысячных

Введите =ОКРУГЛ(A1;3) , что равно 823,783

Округлите число в большую сторону с помощью функции ОКРУГЛВВЕРХ . Она работает точно так же, как функция ОКРУГЛ, за исключением того, что она всегда округляет число в большую сторону. Например, если необходимо округлить число 3,2 до ноля разрядов:

=ОКРУГЛВВЕРХ(3,2;0) , что равно 4

Округлите число вниз с помощью функции ОКРУГЛВНИЗ . Она работает точно так же, как функция ОКРУГЛ, за исключением того, что она всегда округляет число в меньшую сторону. Например, необходимо округлить число 3,14159 до трех разрядов:

=ОКРУГЛВНИЗ(3,14159;3) , что равно 3,141