Биссектрисой треугольника называется отрезок, который делит угол треугольника на два равных угла. К примеру, если угол треугольника 120 0 , то проведя биссектрису, мы построим два угла по 60 0 .

А так как в треугольнике имеется три угла, то можно провести три биссектрисы. Все они имеют одну точку пресечения. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник. По-другому эту точку пересечений называют инцентром треугольника.

При пересечении двух биссектрис внутреннего и внешнего угла, получается угол 90 0 . Внешний угол в треугольнике угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Рис. 1. Треугольник, в котором проведены 3 биссектрисы

Биссектриса делит противоположную сторону на два отрезки, которые имеют связь со сторонами:

$${CL\over{LB}} = {AC\over{AB}}$$

Точки биссектрисы равноудаленные от сторон угла, это значит, что они находятся на одинаковом расстоянии от сторон угла. То есть, если из любой точки биссектрисы опустить перпендикуляры на каждую из сторон угла треугольника, то эти перпендикуляры будут равны..

Если с одной вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана будет самым длинным отрезком, а высота самым коротким.

Некоторые свойства биссектрисы

В определенных видах треугольников, биссектриса имеет особые свойства. В первую очередь это относится к равнобедренному треугольнику. Эта фигура имеет две одинаковые боковые стороны, а третья называется основанием.

Если из вершины угла равнобедренного треугольника провести биссектрису к основанию, то она будет иметь свойства одновременно и высоты и медианы. Соответственно, длина биссектрисы совпадает с длиной медианы и высоты.

Определения:

• Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к противоположной стороне..
• Медиана – отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Рис. 2. Биссектриса в равнобедренном треугольнике

Это касается и равностороннего треугольника, то есть треугольника, в котором все три стороны равны.

Пример задания

В треугольнике ABC: BR биссектриса, причем AB = 6 см, BC = 4 см, а RC = 2 см. Вычесть длину третей стороны.

Рис. 3. Биссектриса в треугольнике

Решение:

Биссектриса делит сторону треугольника в определенной пропорции. Воспользуемся этой пропорцией и выразим AR. После найдем длину третьей стороны как сумму отрезков, на которые эту сторону поделила биссектриса.

• ${AB\over{BC}} = {AR\over{RC}}$
• $RC={6\over{4}}*2=3 см$

Тогда весь отрезок AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 см.

Всего получено оценок: 107.

Инструкция

Если заданный треугольник равнобедренным или правильным, то есть у него
две или три стороны, то его биссектриса, согласно свойству треугольника , будет являться также и медианой. А, следовательно, противолежащая будет делиться биссектрисой пополам.

Измерьте линейкой противолежащую строну треугольника , куда будет стремиться биссектриса. Поделите данную строну пополам и поставьте в середине стороны точку.

Проведите прямую линию, проходящую через построенную точку и противолежащую вершину. Это и будет биссектриса треугольника .

Источники:

• Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Делить угол пополам и вычислить длину линии, проведенной из его вершины к противоположной стороне, необходимо уметь раскройщикам, землемерам, монтажникам и людям некоторых других профессий.

Вам понадобится

• Инструменты Карандаш Линейка Транспортир Таблицы синусов и косинусов Математические формулы и понятия: Определение биссектрисы Теоремы синусов и косинусов Теорема о биссектрисе

Инструкция

Постройте треугольник необходимой и величины, в зависимости от того, что вам дано? дфе стороны и угол между ними, три стороны или два угла и расположенная между ними сторона.

Обозначьте вершины углов и стороны традиционными латинскими А, В и С. Вершины углов обозначают , противолежащие стороны - строчными. Обозначьте углы греческими буквами?,? и?

По теоремам синусов и косинусов вычислите углов и сторон треугольника .

Вспомните биссектрисы. Биссектриса - , делящая угол пополам. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую на два отрезка, которых равно отношению двух прилежащих сторон треугольника .

Проведите биссектрисы углов. Полученные отрезки обозначьте названиами углов, написанными строчными буквами, с нижним индексом l. Сторона с делится на отрезки a и b с индексами l.

Вычислите длины получившихся отрезков по теореме синусов.

Видео по теме

Обратите внимание

Длина отрезка, которая одновременно является стороной треугольника, образованного одной из сторон исходного треугольника, биссектрисой и собственно отрезком, вычисляется по теореме синусов. Для того, чтобы вычислить длину другого отрезка этой же стороны, воспользуйтесь соотношением получившихся отрезков и прилежащих сторон исходного треугольника.

Полезный совет

Для того, чтобы не запутаться, проведите биссектрисы разных углов разным цветом.

Биссектрисой угла называют луч, который начинается в вершине угла и делит его на две равные части. Т.е. чтобы провести биссектрису , нужно найти середину угла . Наиболее простой способ это сделать - при помощи циркуля. В этом случае вам не нужно проводить никаких вычислений, и результат не будет зависеть от того, является ли величина угла целым числом.

Вам понадобится

• циркуль, карандаш, линейка.

Инструкция

Оставив ширину раствора циркуля прежней, установите иглу в конце отрезка на одной из сторон и начертите часть окружности так, чтобы она располагалась внутри угла . То же самое сделайте и со второй . У вас получится две части окружностей, которые будут пересекаться внутри угла - примерно посередине. Пересекаться части окружностей могут в одной или двух точках.

Видео по теме

Полезный совет

Для построения биссектрисы угла можно использовать транспортир, но этот способ требует большей точности. При этом, если величина угла не будет являться целым числом, вероятность погрешностей в построении биссектрисы возрастает.

При строительстве или разработке домашних дизайн-проектов часто требуется построить угол , равный уже имеющемуся. На помощь приходят шаблоны и школьные знания геометрии.

Инструкция

Угол образуют две прямые, исходящие из одной точки. Эта точка будет называться вершиной угла, а линии будут являться сторонами угла.

Для обозначения углов используйте три : одна у вершины, две у сторон. Называют угол , начиная с той буквы, которая стоит у одной стороны, далее называют букву, стоящую у вершины, и затем букву у другой стороны. Используйте и другие для обозначения углов, если вам удобнее иначе. Иногда называют только одну букву, которая стоит у вершины. А можно обозначать углы греческими буквами, например, α, β, γ.

Встречаются ситуации, когда необходимо угол , чтобы он был уже данному углу. Если при построении использовать транспортир возможности нет, можно обойтись только линейкой и циркулем. Допустим, на прямой, обозначенной на буквами MN, нужно построить угол у точки К, так, чтобы он был равен углу В. То есть из точки K необходимо провести прямую, с линией MN угол , который будет равен углу В.

В начале отметьте по точке на каждой стороне данного угла, например, точки А и С, дальше соедините точки С и А прямой линией. Получите треугол ьник АВС.

Сейчас постройте на прямой MN такой же треугол ьник, чтобы его вершина В находилась на линии в точке К. Используйте правило построения треугол ьника по трем . Отложите от точки К отрезок KL. Он должен быть равен отрезку ВС. Получите точку L.

Из точки K вычертите окружность радиусом равным отрезку ВА. Из L вычертите окружность радиусом СА. Полученную точку (Р) пересечения двух окружностей соедините с К. Получите треугол ьник КPL, который будет равен треугол ьнику ABC. Так вы получите угол К. Он и будет равен углу В. Чтобы это удобнее и быстрее, от вершины В отложите равные отрезки, используя один раствор циркуля, не сдвигая ножек, опишите этим же радиусом из точки К окружность.

Видео по теме

Совет 5: Как построить треугольник по двум сторонам и медиане

Треугольник - это простейшая геометрическая фигура, имеющая три вершины, попарно соединенные между собой отрезками, которые образуют стороны этого многоугольника. Отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называют медианой. Зная длины двух сторон и медианы, соединяющихся в одной из вершин, можно построить треугольник, не имея данных о длине третьей стороны или величинах углов.

Инструкция

Проведите из точки A отрезок, длина которого одной из известных сторон треугольника (a). Точку окончания этого отрезка обозначьте буквой B. После этого одну из сторон (AB) искомого треугольника уже можно считать построенной.

Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом, равным удвоенной длине медианы (2∗m), и с центром в точке A.

Начертите с помощью циркуля вторую окружность с радиусом, равным длине известной стороны (b), и с центром в точке B. Отложите на время циркуль, но оставьте на нем отмеренный - он вам снова понадобится немного позже.

Постройте отрезок, соединяющий точку A с точкой пересечения двух нарисованных вами . Половина этого отрезка будет , который вы строите - отмерьте эту половину и поставьте точку M. На этот момент у вас есть одна сторона искомого треугольника (AB) и его медиана (AM).

Начертите с помощью циркуля окружность с радиусом, равным длине второй известной стороны (b), и с центром в точке A.

Проведите отрезок, который должен начинаться в точке B, проходить через точку M и заканчиваться в точке пересечения прямой с проведенной вами на предыдущем шаге окружностью. Обозначьте точку пересечения буквой C. Теперь в искомом построена и неизвестная по условиям задачи сторона BC.

Умение разделить любой угол биссектрисой нужно не только для того, чтобы получить «пятерку» по математике. Эти знания очень пригодятся строителю, дизайнеру, землемеру и портнихе. В жизни многое надо уметь делить пополам.

Все в школе учили шуточное про крысу, которая бегает по углам и делит угол пополам. Звали этого шустрого и умного грызуна Биссектрисой. Не известно, каким образом крыса делила угол, а математиков в школьном учебнике «Геометрия» могут быть предложены следующие способы.

С помощью транспортира

Самый простой способ проведения биссектрисы - с использованием прибора для . Нужно приложить транспортир к одной стороне угла, совместив точку отсчета с его острием О. Затем замерить величину угла в градусах или радианах и разделить ее на два. Отложить с помощью того же транспортира полученные градусы от одной из сторон и провести прямую линию, которая и станет биссектрисой, до точки начала угла О.

С помощью циркуля

Нужно взять циркуль и развести его на любой произвольный размер (в пределах чертежа). Установив острие в точке начала угла О, начертить дугу, пересекающую лучи, отметив на них две точки. Обозначают их А1 и А2. Затем, устанавливая циркуль поочередно в эти точки, следует провести две окружности одинакового произвольного диаметра (в масштабе чертежа). Точки их пересечения обозначаются С и В. Далее необходимо провести прямую линию через точки О, С и В, которая и будет искомой биссектрисой.

С помощью линейки

Для того чтобы начертить биссектрису угла с помощью линейки, нужно отложить от точки О на лучах (сторонах) отрезки одинаковой длины и обозначить их точками А и В. Затем следует соединить их прямой линией и с помощью линейки разделить получившийся отрезок пополам, обозначив точку С. Биссектриса получится, если провести прямую через точки С и О.

Без инструментов

Если нет измерительных инструментов, можно воспользоваться смекалкой. Достаточно просто начертить угол на кальке или обычной нетолстой бумаге и аккуратно сложить листок так, чтобы лучи угла совместились. Линия сгиба на чертеже и будет искомой биссектрисой.

Развернутый угол

Угол больше 180 градусов можно разделить биссектрисой такими же способами. Только делить надо будет не его, а прилежащий к нему острый угол, оставшийся от окружности. Продолжение найденной биссектрисы и станет искомой прямой, делящей развернутый угол пополам.

Углы в треугольнике

Следует помнить, что в равностороннем треугольнике биссектриса является также медианой и высотой. Поэтому в нем биссектрису можно найти, просто опустив перпендикуляр на противоположную от угла сторону (высота) или разделив эту сторону пополам и соединив точку середины с противоположным углом (медиана).

Видео по теме

Мнемоническое правило «биссектриса-это крыса, которая бегает по углам и делит их пополам» описывает суть понятия, но не дает рекомендаций по построению биссектрисы. Чтобы ее начертить, кроме правила вам понадобится циркуль и линейка.

Инструкция

Допустим, что вам нужно построить биссектрису угла A. Возьмите циркуль, поставьте его острием в точку A ( угла) и начертите окружность любого . Там, где она пересечет стороны угла, поставьте точки B и C.

Замерьте радиус первой окружности. Начертите еще одну, с таким же радиусом, поставив циркуль в точку B.

Проведите следующую окружность (по размеру равную предыдущим) с центром в точке C.

Все три окружности должны пересечься в одной точке – назовем ее F. С помощью линейки проведите луч, проходящий через точки A и F. Это и будет искомая биссектриса угла A.

Существует несколько правил, помогут вам в нахождении . Например, она противоположную в , равном отношению двух прилежащих сторон. В равнобедренном

Сорокина Вика

Приведено доказательства свойств биссектрисы треугольника и рассмотрено применение теориик решению задач

Скачать:

Предварительный просмотр:

Комитет по образованию администрации г. Саратова, Октябрьский район Муниципальное автономное образовательное учреждение Лицей №3 им. А. С. Пушкина.

Муниципальная научно-практическая

конференция

«Первые ступени»

Тема: Биссектриса и ее свойства.

Работу выполнила: ученица 8 г класса

Сорокина Виктория Научный руководитель: Учитель математики высшей категории Попова Нина Федоровна.

Саратов 2011 г

1. Титульный лист…………………………………………………………...1
2. Содержание ………………………………………………………………2
3. Введение и цели………………………………………………………... ..3
4. Рассмотрение свойств биссектрисы

• Третье геометрическое место точек………………………………….3
• Теорема 1……………………………………………………………....4
• Теорема 2………………………………………………………………4
• Основное свойство биссектрисы треугольника:

1. Теорема 3……………………………………………………………...4
2. Задача 1…………………………………………………………… ….7
3. Задача 2……………………………………………………………….8
4. Задача 3…………………………………………………………….....9
5. Задача 4…………………………………………………………….9-10

• Теорема 4…………………………………………………………10-11
• Формулы нахождения биссектрисы:

1. Теорема 5…………………………………………………………….11
2. Теорема 6…………………………………………………………….11
3. Теорема 7…………………………………………………………….12
4. Задача 5…………………………………………………………...12-13

• Теорема 8…………………………………………………………….13
• Задача 6………………………………………………………...…….14
• Задача 7……………………………………………………………14-15
• Определение с помощью биссектрисы сторон света………………15

1. Заключение и вывод……………………………………………………..15
2. Список используемой литературы ……………………………………..16

Биссектриса

На уроке геометрии, изучая тему подобные треугольники, я встретилась с задачей на теорему об отношении биссектрисы к противолежащим сторонам. Казалось бы, что может быть интересного в теме биссектриса, однако эта тема меня заинтересовала, и мне захотелось изучить ее глубже. Ведь биссектриса очень богата своими удивительными свойствами, помогающими решать разные задачи.

При рассмотрении данной темы можно заметить,что в учебниках геометрии очень мало говорится о свойствах биссектрисы, а на экзаменах, зная их можно значительно проще и быстрее решать задачи. К тому же для сдачи ГИА и ЕГЭ современным ученикам нужно самим изучать дополнительные материалы к школьной программе. Именно поэтому я и решила подробнее изучить тему биссектриса.

Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла - луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части. Биссектриса угла (вместе с её продолжением) есть геометрическое место точек равноудалённых от сторон угла (или их продолжений )

Третье геометрическое место точек

Фигура F является геометрическим местом точек (множеством точек), обладающих некоторым свойством А, если выполняются два условия:

1. из того, что точка принадлежит фигуре F, следует, что она обладает свойством А;
2. из того, что точка удовлетворяет свойству А, следует, что она принадлежит фигуре F.

Первое геометрическое место точек, рассматриваемое в геометрии - это окружность, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки. Второе - серединный перпендикуляр отрезка, т.е. геометрическое место точек, равноудаленных от конца отрезка. И, наконец, третье - биссектриса - геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла

Теорема 1:

Точки биссектрисы одинаково удалены от стор он угла.

Доказательство:

Пусть Р - точка биссектрисы А. Опустим из точки Р перпендикуляры РВ и PC на стороны угла . Тогда ВАР = САР по гипотенузе и острому углу . Отсюда, РВ = PC

Теорема 2 :

Если точка Р одинаково удалена от сторон угла А, то она лежит на биссектрисе .

Доказательство: РВ = PC => ВАР = САP => BAP= CAP => АР – биссектриса.

К числу основных геометрических фактов следует отнести теорему о том, что биссектриса делит противолежащую сторону в отношении противолежащих сторон. Этот факт долго оставался в тени но повсеместно встречаются задачи, которые гораздо легче решать, если знать этот и другие факты о биссектрисе. Мне стало интересно, и я решила глубже исследовать это свойство биссектрисы.

Основное свойство биссектрисы угла треугольника

Теорема 3 . Биссектриса делит противолежащую сторону треугольника в отношении прилежащих сторон .

Доказательство 1:

Дано : AL - биссектриса треугольника ABC

Доказать:

Доказательство: Пусть F - точка пересечения прямой AL и прямой, проходящей через точку В параллельно стороне АС.

Тогда BFA = FАС = BAF. Следовательно, BAF равнобедренный и АВ = BF. Из подобия треугольников ALC и FLB имеем

соотношение

откуда

Доказательство 2

Пусть F- точка пересеченная прямой AL и прямой, проходящей через точку С параллельно основанию АВ. Тогда можно повторить рассуждения.

Доказательство 3

Пусть К и М - основания перпендикуляров, опущенных на прямую AL из точек В и С соответственно. Треугольники ABL и ACL подобны по двум углам. Поэтому
. А из подобия BKL и CML имеем

Отсюда

Доказательство 4

Применим метод площадей. Вычислим площади треугольников ABL и ACL двумя способами.

Отсюда .

Доказательство 5

Пусть α= ВАС,φ= BLA. По теореме синусов в треугольнике ABL

А в треугольнике ACL .

Так как ,

То, поделив обе части равенства на соответствующие части другого, получим .

Задача 1

Дано: В треугольнике ABC, ВК – биссектриса, ВС=2, КС=1,

Решение:

Задача 2

Дано:

Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18

Решение:

Пусть катет AC = 18, катет BC = 24,

AM - биссектриса треугольника.

По теореме Пифагора находим,

что AB = 30.

Поскольку , то

Аналогично найдем вторую биссектрису.

Ответ:

Задача 3

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом B биссектриса угла A пересекает сторону BC

В точке D . Известно, что BD = 4, DC = 6.

Найдите площадь треугольника ADC

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника

Обозначим AB = 2 x , AC = 3 x . По теореме

Пифагора BC 2 + AB 2 = AC 2 , или 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Отсюда находим, что x = Тогда AB = , S ABC=

Следовательно,

Задача 4

Дано:

В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB равна 10, основание AC равно 12.

Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке D . Найдите BD .

Решение:

Поскольку биссектрисы треугольника пересекаются в

Одной точке, то BD - биссектриса B . Продолжим BD до пересечения с AC в точке M . Тогда M - середина AC , BM AC . Поэтому

Поскольку CD - биссектриса треугольника BMC , то

Следовательно,.

Ответ:

Теорема 4 . Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК 1 и ВК 2 . Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.

Формулы нахождения биссектрисы
Теорема5: (первая формула для биссектрисы ): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой A, то AL² = AB·AC - LB·LC.

Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL: AC = AB: AM. Значит, AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать.

Теорема6: . (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и A, равным 2α и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = (2ab / (a+b)) · cosα.

Доказательство : Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса, a=AB, b=AC, l=AL. Тогда S ABC = S ALB + S ALC . Следовательно, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα·cosα = (a + b)·l sinα l = 2·(ab / (a+b))· cosα. Теорема доказана.

Теорема 7: Если a,b – стороны треугольника,Ү- угол между ними, - биссектриса этого угла. Тогда .

Внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Теорема 8. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК 1 и ВК 2 . Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК 3 , то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.
Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника
Теорема 9 . Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке Мпродолжением стороны АВ. Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ∠ АВК=∠ КВС. Далее, ∠ АВК=∠ ВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ∠ КВС=∠ ВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ∠ ВСМ=∠ ВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК:К С=АВ:ВМ=АВ:ВС, что и требовалось доказать.
Теорема 10 Биссектриса внешнего угла В треугольника АВС обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершины А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника: AL :CL =AB :BC .
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рисунке проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL . Углы ВМС и ВСМ равны, а значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из чего приходим к выводу AL:CL=AB:BC.

Теорема d4. (первая формула для биссектрисы): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой угла A, то AL? = AB·AC - LB·LC.

Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL: AC = AB: AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · (AL + LM) = AB · AC <=> AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. Примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность .

Теорема d5. (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и углом A, равным 2? и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса (рис. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Тогда S ABC = S ALB + S ALC . Следовательно, absin2? = alsin? + blsin? <=> 2absin?·cos? = (a + b)·lsin? <=> l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Теорема доказана.

Среди многочисленных предметов среднеобразовательной школы есть такой, как «геометрия». Традиционно считается, что родоначальниками этой систематической науки являются греки. На сегодняшний день греческую геометрию называют элементарной, так как именно она начала изучение простейших форм: плоскостей, прямых, и треугольников. На последних мы и остановим свое внимание, а точнее на биссектрисе этой фигуры. Для тех, кто уже подзабыл, биссектриса треугольника представляет собой отрезок биссектрисы одного из углов треугольника, который делит его пополам и соединяет вершину с точкой, размещенной на противолежащей стороне.

Биссектриса треугольника имеет ряд свойств, которые необходимо знать при решении тех или иных задач:

• Биссектриса угла представляет собой геометрическое место точек, удаленных на равных расстояниях от прилегающих к углу сторон.
• Биссектриса в треугольнике делит противоположную от угла сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Например, дан треугольник MKB, где из угла K выходит биссектриса, соединяющая вершину этого угла с точкой A на противолежащей стороне MB. Проанализировав данное свойство и наш треугольник, имеем MA/AB=MK/KB.
• Точка, в которой пересекаются биссектрисы всех трех углов треугольника, является центром окружности, которая вписана в этот же треугольник.
• Основание биссектрис одного внешнего и двух внутренних углов находятся на одной прямой, при условии, что биссектриса внешнего угла не является параллельной противоположной стороне треугольника.
• Если две биссектрисы одного то этот

Необходимо отметить, что если заданы три биссектрисы, то построение треугольника по ним, даже с помощью циркуля, невозможно.

Очень часто при решении задач биссектриса треугольника неизвестна, а необходимо определить ее длину. Для решения такой задачи необходимо знать угол, который делится биссектрисой пополам, и прилегающие к этому углу стороны. В этом случае искомая длина определяется как отношение удвоенного произведения прилегающих к углу сторон и косинуса угла деленного пополам к сумме прилегающих к углу сторон. Например, дан все тот же треугольник MKB. Биссектриса выходит из угла K и пересекает противоположную сторону МВ в точке А. Угол, из которого выходит биссектриса, обозначим y. Теперь запишем все то, что сказано словами в виде формулы: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Если величина угла, из которого выходит биссектриса треугольника, неизвестна, но известны все его стороны, то для вычисления длины биссектрисы мы воспользуемся дополнительной переменной, которую назовем полупериметр и обозначим буквой P: P=1/2*(MK+KB+MB). После этого внесем некоторые изменения в предыдущую формулу, по которой определялась длина биссектрисы, а именно, в числитель дроби ставим удвоенный из произведения длин сторон, прилегающих к углу, на полупериметр и частное, где из полупериметра вычитается длина третьей стороны. Знаменатель оставим без изменения. В виде формулы это будет выглядеть так: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Биссектриса равнобедренного треугольника вместе с общими свойствами имеет и несколько своих. Вспомним, что это за треугольник. У такого треугольника две стороны равны, и равны прилегающие к основанию углы. Отсюда следует, что биссектрисы, которые опускаются на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны между собой. Кроме того, биссектриса, опущенная на основание, одновременно является и высотой, и медианой.